定义在R上的偶函数f满足f=-f，且当x∈[-1，1]时，f=x2．求证：2是函数f的一个周期；求f在区间[

题文

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且当x∈[-1，1]时，f（x）=x²．
（1）求证：2是函数f（x）的一个周期；
（2）求f（x）在区间[2k-1，2k+1]，k∈Z上的函数解析式；
（3）是否存在整数k，使f(x)+2kx-9x＞0对任意x∈[2k-1，2k+1]恒成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x）
所以：2是函数f（x）的一个周期（2分）
（2）∵f（x）是以2为周期的函数，即f（x-2k）=f（x），k∈Z
设x∈[2k-1，2k+1]，则x-2k∈[-1，1]∴f（x-2k）=（x-2k）²，
即f（x）=（x-2k）²，x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）（6分）
（3）当x∈[2k-1，2k+1]时，f(x)+2kx-9x＞0⇔x2-2kx+4k2x＞0
①当k≥1时，则2k-1≥1，∴x＞0
∴原题等价于x²-2kx+4k²-9＞0对任意x∈[2k-1，2k+1]恒成立．
设g（x）=x²-2kx+4k²-9
当k≥1时，对称轴x=k≤2k-1
则g（2k-1）=4k²-2k-8≥0，
解得k≥1+333或k≤1-334∴整数k≥2（10分）
②当k≤-1时，则2k+1≤-1，∴x＜0，
∴原题等价于x²-2kx+4k²-9＜0对任意x∈[2k-1，2k+1]恒成立，
设g（x）=x²-2kx+4k²-9
当k≤-1时，对称轴x=k≥2k+1
则g（2k-1）=4k²-2k-8＞0，
解得1-333＜k＜1+334∴整数k=-1（14分）
③当k=0时，原命题等价于x2-9x＞0对任意x∈[-1，1]恒成立
当x=1时，则-8＞0显然不成立∴k≠0（15分）
综上所述，所求k的取值范围是[2，+∞）∪-1．（16分）

解析

f(x)+2kx-9x

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。