题文
设a为实数，函数f(x)=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g（a）．（1）求函数f（x）的定义域；
（2）设t=1+x+1-x，把函数f（x）表示为t的函数h（t），并写出定义域；
（3）求g（a），并求当a＞-12时满足g(a)=g(1a)的实数a的取值集合． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由题意得1-x2≥01+x≥01-x≥0得-1≤x≤1x≥-1x≤1∴函数f（x）的定义域为[-1，1]．（4分）
（2）由t=1+x+1-x平方得t2=2+21-x2．由x∈[-1，1]得，t2∈[2，4]，
所以t的取值范围是[2，2]．
又1-x2=12t2-1，∴h(t)=a(12t2-1)+t．
即h(t)=12at2+t-a，定义域为[2，2]．（8分）
（3）由题意知g（a）即为函数h(t)=12at2+t-a，t∈[2，2]的最大值．
注意到直线t=-1a是抛物线h(t)=12at2+t-a的对称轴，分以下几种情况讨论：
①当a＞0时，函数y=h(t)，t∈[2，2]的图象是开口向上的抛物线的一段，
由t=-1a＜0知y=h（t）在[2，2]上单调递增，∴g（a）=h（2）=a+2．
②当a=0时，h（t）=t，t∈[2，2]，∴g（a）=h（2）=2．
③当a＜0时，函数y=h(t)，t∈[2，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，t=-1a＞0．
a若t=-1a∈(0，2)，即a＜-22时，则g(a)=h(2)=2；
b若t=-1a∈[2，2]，即-22≤a≤-12时，则g(a)=h(-1a)=-a-12a；
c若t=-1a∈(2，+∞)，即-12＜a＜0时，则g（a）=h（2）=a+2；
综上有g(a)=a+2 a＞-12-a-12a -22≤a≤-122 a＜-22．（14分）
当a＞0时，1a＞0，g(1a)=1a+2，由g(a)=g(1a)得，a+2=1a+2，a=±1．∴a=1．
当-12＜a＜0时，1a＜-2，此时g(a)=a+2，g(1a)=2，由a+2=2解得a=2-2与a＞-12矛盾．
∴满足g(a)=g(1a)的所有实数a的取值集合是：{1}．（18分）
解析
1-x2≥01+x≥01-x≥0考点
据考高分专家说，试题“设a为实数，函数f(x)=a1-x2+1.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
