已知函数f=log12，当点P在y=f的图象上移动时，点Q在函数y=g的图象上移动．

题文

已知函数f（x）=log12（x+1），当点P（x₀，y₀）在y=f（x）的图象上移动时，点Q（x0-t+12，y₀）（t∈R）在函数y=g（x）的图象上移动．
（1）若点P坐标为（1，-1），点Q也在y=f（x）的图象上，求t的值；
（2）求函数y=g（x）的解析式；
（3）当t＞0时，试探求一个函数h（x）使得f（x）+g（x）+h（x）在限定定义域为[0，1）时有最小值而没有最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当点P坐标为（1，-1），点Q的坐标为(1-t+12，-1)，
∵点Q也在y=f（x）的图象上，∴-1=log12(-1+t2+1)，即t=0．
（根据函数y=f（x）的单调性求得t=0，请相应给分）
（2）设Q（x，y）在y=g（x）的图象上
则x=x0-t+12y=y0，即x0=2x+t-1y0=y
而P（x₀，y₀）在y=f（x）的图象上，∴y0=log12(x0  +1)
代入得，y=g(x)=log12(2x+t)为所求．
（3）h(x)=log121-x2x+t；或h(x)=log1232-x2x+t等．
如：当h(x)=log121-x2x+t时，
f（x）+g（x）+h（x）=log12 (x+1)+log12(2x+t)+log121-x2x+t=log12 (1-x2)
∵1-x²在[0，1）单调递减，∴0＜1-x²≤1故log12(1-x2)≥0，
即f（x）+g（x）+h（x）有最小值0，但没有最大值．

解析

1-t+12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=log12（x+1），.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。