给出下列四个函数：①y=x+1x(x≠0)②y=3x+3-x③y=x2+2+1x2+2④y=sinx+1sinx，x∈(0，π2)其中最小值为2的函数是____

题文

给出下列四个函数：
①y=x+1x(x≠0)②y=3^x+3^-x③y=x2+2+1x2+2④y=sinx+1sinx，x∈(0，π2)
其中最小值为2的函数是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

①函数y=x+1x(x≠0)为奇函数，只有极小值，无最小值；
②∵3^x＞0，3^-x＞0，∴y=3^x+3^-x≥2，∴函数由最小值2；
③设x2+2=t，∵x2+2≥ 2，t≥2，∴y=x2+2+1x2+2=t+1t在[2，+∞）上单调增，∴函数的最小值为52；
④设sinx=t，∵x∈(0，π2)，∴0＜t＜1，∴y=t+1t在（0，1）上单调减，∴函数无最小值．
故答案为：②

解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“给出下列四个函数：①y=x+1x(x≠0.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。