记min{p，q}=p，p≤qq．p＞q．若函数f(x)=min{x，23(x-1)}，求f表达式求f(x)=min{3|x-p1|，2×3|

题文

记min{p，q}=p，p≤qq．p＞q．
（1）若函数f(x)=min{x，23(x-1)}，求f（x）表达式
（2）求f(x)=min{3|x-p1|，2×3|x-p2|)}=3|x-p1|，对所有实数x成立的充分必要条件（用p₁，p₂表示）；
（3）若f(x)=min{3|x-p1|，2×3|x-p2|)}，且f（a）=f（b）（a，bp₁，p₂为实数，且a＜bp₁，p₂∈（a，b））求f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（x）=x  x≤23(x-1)23(x-1)  x＞23(x-1)
=x  ，x∈[4，+∞)&23(x-1) & &x∈[0，4)5分
（2）由f（x）的定义可知，f(x)=3|x-p1|这等价于3|x-p1|≤2•3|x-p2|（对所有实数x）
即 3|x-p1|-|x-p2|≤3log32=2对所有实数x均成立．（*）                  8分
由于|x-p₁|-|x-p₂|≤|（x-p₁）-（x-p₂）|=|p₁-p₂|（x∈R）的最大值为|p₁-p₂|，
故（*）等价于3|p1-p2|≤2，即|p₁-p₂|≤log₃2，这就是所求的充分必要条件      11分
（3）1°如果|p₁-p₂|≤log₃2，则的图象关于直线x=p₁对称．因为f（a）=f（b），
所以区间[a，b]关于直线x=p₁对称．因为减区间为[a，p₁]，增区间为[p₁，b]，
所以单调增区间的长度和为b-a214分
2°如果|p₁-p₂|＞log₃2．
（1）当p₁-p₂＞log₃2时．f₁（x）=3x-p1，x∈[p1，b]3p1-x，x∈[a，p1]，f₂（x）=3x-p2+log32，x∈[p2，b]3p 2-x+log32，x∈[a，p2]
当x∈[p₁，b]，f1(x)f2(x)=3p2-p1-log32＜30=1，因为f₁（x）＞0，f₂（x）＞0，所以f₁（x）＜f₂（x），
故f（x）=f₁（x）=3x-p1，当x∈[a，p₂]，f1(x)f2(x)=3p1-p2-log32＞30=1，因为f₁（x）＞0，f₂（x）＞0，
所以f₁（x）＞f₂（x）故f（x）=f₂（x）=3p2-x+log32
因为f（a）=f（b），所以3b-p1=3p2-a+log32，即a+b=p₁+p₂+log₃2
当x∈[p₂，p₁]时，令f₁（x）=f₂（x），则3p1-x=3x-p2+log32，所以x=p1+p2-log322，
当x∈[p₂，p1+p2-log322]时，f₁（x）≥f₂（x），所以f（x）=f₂（x）=3x-p2+log32x∈[p1+p2-log322，p1]时，f₁（x）≤f₂（x），所以f（x）=f₁（x）=3p1-xf（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和b-p₁+p1+p2-log322-p2
=b-p1+p2+log322=b-a+b2=b-a216分
（2）当p₂-p₁＞log₃2时．类似可求得：f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和b-p₂+p1+p2+log322-p1=b-p1+p2-log322=b-a2
综上得f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和为b-a218分．

解析

x  x≤23(x-1)23(x-1)  x＞23(x-1)

考点

据考高分专家说，试题“记min{p，q}=p，p≤qq．p＞q.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。