题文
已知函数f （x）=ex，g（x）=lnx，h（x）=kx+b．（1）当b=0时，若对∀x∈（0，+∞）均有f （x）≥h（x）≥g（x）成立，求实数k的取值范围；
（2）设h（x）的图象为函数f （x）和g（x）图象的公共切线，切点分别为（x1，f （x1））和（x2，g（x2）），其中x1＞0．
①求证：x1＞1＞x2；
②若当x≥x1时，关于x的不等式ax2-x+xe-x+1≤0恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）依题意对∀x∈（0，+∞）均有ex≥kx≥lnx成立即对任意∀x∈（0，+∞）均有exx≥k≥lnxx成立…（1分）
∴（exx）min≥k≥(lnxx)max
因为（exx）=ex(x-1)x2故y=exx在（0，1）上减，（1，+∞）增
∴（exx）min=e
又(lnxx)=1-lnxx2故y=lnxx在（0，e）上减，（e，+∞）增
∴(lnxx)max=1e即k的取值范围是[1e，e]
（2）由题知：h（x）即为y-e x1=e x1（x-x1）即y=e x1•x+e x1-x1 e x1
也为y=lnx2=1x2(x-x2)即y=1x2x+lnx2-1
∴ex1=1x2ex1-x1ex1=lnx2-1…（6分）
又x1=0，∴e x1＞1 即1x2＞1⇒x1＞1
即x1＞1＞x2…（8分）
（3）令F（x）=ax2-x+xe-x+1（x≥x1）
∴F′（x）=-1-xe-x+e-x=-1+e-x（1-x）（ x≥x1）
又x≥x1＞1，F′（x）=-1-xe-x+e-x=-1+e-x（1-x）＜0
即F（x）=ax2-x+xe-x+1（x≥x1）单调减，
所以只要F（x）≤F（x1）=ax2-x1+x1e -x1+1≤0
即a+x1-x1e x1+e x1≤0…（12分）
由ex1=1x2ex1-x1ex1=lnx2-1
∴x1=-lnx2ex1-x1ex1=lnx2-1
即x1-x1ex1+ex1=-1
故只要a+x1-x1ex1+ex1=a-1≤0得：
a≤1
综上，实数a的取值范围是（-∞，1]…（14分）
解析
exx考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ex，g（x）=lnx.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
