已知函数f(x)=2x2x-1+21-x+a若f=1，求实数a的值并计算f+f的值；若不等式f≥0对任意的x∈[

题文

已知函数f(x)=2x2x-1+21-x+a（a∈R）
（1）若f（1）=1，求实数a的值并计算f（-1）+f（3）的值；
（2）若不等式f（x）≥0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=-1时，设g（x）=f（x+b），是否存在实数b使g（x）为奇函数．若存在，求出b的值；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本题12分）
（1）∵f（1）=1，
∴2120+20+a=1，即1+a=1，∴a=0
∴f(x)=2x2x-1+21-x，
∴f(-1)+f(3)=2-12-2+22+2322+2-2=2．
（2）∵f（x）≥0，即2x2x-1+21-x+a≥0，
亦即a≥-2x2x-1+21-x对任意的x∈[1，+∞）恒成立，
设h(x)=-2x2x-1+21-x，
∵h(x)=-2x2x-1+21-x=-12-1+21-2x=-112+222x，
∴h（x）在x∈[1，+∞）时是增函数，所以h_min（x）=h（1）=-1
∴a≥-1即可．
故实数a的取值范围是[-1，+∞）．
（3）∵a=-1，
∴f(x)=2x2x-1+21-x-1=2x-2x-1-21-x2x-1+21-x=2x-1-21-x2x-1+21-x，
∴g(x)=f(x+b)=2x+b-1-21-b-x2x+b-1+21-b-x，
方法一：
∵g（x）是奇函数，且x∈R，∴g（0）=0
∴g(0)=2b-1-21-b2b-1+21-b=0，∴2^b-1=2^1-b，即2^b-1=1，所以b=1．
当b=1时，g(x)=2x-2-x2x+2-x，∵g(-x)=2-x-2x2-x+2x=-2x-2-x2x+2-x=-g(x)，
∴g（x）是奇函数．
故存在b=1，使g（x）是奇函数．
方法二：
∵g（x）是奇函数，∴g（-x）=-g（x），令b-1=c
即2-x+c-2-c+x2-x+c+2-c+x=-2x+c-2-c-x2x+c+2-c-x
∴2^2c+2^-2x-2^2x-2^-2c=-（2^2c+2^2x-2^-2x-2^-2c）
∴2^2c-2^-2c=0，即2^4c=1，即c=0，即b=1．
方法三：【这种做法也给分】
当b=1时，g(x)=2x-2-x2x+2-x，
∵g(-x)=2-x-2x2-x+2x=-2x-2-x2x+2-x=-g(x)，∴g（x）是奇函数．
所以存在b=1，使g（x）是奇函数．

解析

2120+20

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=2x2x-1+21-x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。