题文
已知函数f（x）=a-2x4x+1（a∈R）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵函数f（x）=a-2x4x+1（a∈R），定义域为实数集R．①∵f（-x）-f（x）=a-2-x4-x+1-(a-2x4x+1)=-2-x×4x1+4x+2x4x+1=-2x4x+1+2x4x+1=0，∴f（-x）=f（x）对于任意实数x都成立，∴函数f（x）是偶函数；
②又f（-x）+f（x）=a-2-x4-x+1+a-2x4x+1=2a-2x1+4x×2，此式对于任意的实数x不满足f（-x）+f（x）=0，故此函数不是奇函数．
（2）判断：函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
证明：任取0＜x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=a-2x14x1+1-(a-2x24x2+1)=(2x1-2x2)(2x1+x2-1)(4x1+1)(4x2+1)，
由0＜x1＜x2，∴2x1＜2x2，2x1+x2＞1，
∴2x1-2x2＜0，2x1+x2-1＞0，
又4x1+1＞0，4x2+1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
解析
2x4x+1考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=a-2x4x+1（a∈.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
