关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为α，β，函数f=4x-tx2+1.求f和f的值．证明：f在[α，β]上是增

题文

关于x的方程2x²-tx-2=0的两根为α，β（α＜β），函数f（x）=4x-tx2+1.
（1）求f（α）和f（β）的值．
（2）证明：f（x）在[α，β]上是增函数．
（3）对任意正数x₁．x₂，求证：|f(x1α+x2βx1+x2)-f(x1β+x2αx1+x2)|＜2|α-β|（文科不做） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由根与系数的关系得，α+β=t2，αβ=-1.
∴f(α)=4α-tα2+1=4α-2(α+β)α2-αβ=2α=8t-t2+16=-12(t+t2+16).
同法得f（β)=12(t2+16-t).（4分）（文科7分）
（2）证明：∵f^/（x）=4(x2+1)-(4x-t)2x(x2+1)2=-2(2x2-tx-2)(x2+1)2，而当x∈[α，β]时，
2x²-tx-2=2（x-α）（x-β）≤0，
故当x∈[α，β]时，f^/（x）≥0，
∴函数f（x）在[α，β]上是增函数．（9分）（文科14分）
（3）证明：x1α+x2βx1+x2-α=x2(β-α)x1+x2＞0，x1α+x2βx1+x2-β=x1(α-β)x1+x2＜0，
∴α＜x1α+x2βx1+x2＜β，
同理α＜x1β+x2αx1+x2＜β．
∴f(α)＜f(x1β+x2αx1+x2)＜f(β)，故-f(β)＜-f(x1β+x2αx1+x2)＜-f(α).（11分）
又f（α)＜f(x1α+x2βx1+x2)＜f(β).两式相加得：-[f(β)-f(α)]＜f(x1α+x2βx1+x2)-f(x1β+x2αx1+x2)＜f(β)-f(α)，
即|f(x1α+x2βx1+x2)-f(x1β+x2αx1+x2)|＜f(β)-f(α).（13分）
而由（1），f（α）=-2β，f（β）=-2α且f（β）-f（α）=|f（β）-f（α）|，
∴|f(x1α+x2βx1+x2)-f(x1β+x2αx1+x2)|＜2|α-β|．（14分）

解析

t2

考点

据考高分专家说，试题“关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。