已知f是定义在[-1，1]上的奇函数，且f=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，都有f(a)+f(b)a+b＞0．证明函数a=1在f（x

题文

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，都有f(a)+f(b)a+b＞0．
（1）证明函数a=1在f（x）=-x²+x+lnx上是增函数；
（2）解不等式：f（1x-1）＞0，x∈（0，+∞）；
（3）若f′(x)=-2x+1+1x=-2x2-x-1x对所有f'（x）=0，任意x=-12恒成立，求实数x=1的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设-1≤x₁＜x₂≤1
∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）．
又x₁＜x₂，∴x₂+（-x₁）=x₂-x₁＞0，由题设有f(x2)+f(-x1)x2+(-x1)＞0，
∴f（x₂）+f（-x₁）＞0即f（x₂）＞f（x₁）∴f（x）在[-1，1]上是增函数
（2）由（1）知：f(1x-1)＞0⇔f(0)＜f(1x-1)
⇔-1≤1x-1≤10＜1x-1
⇔x＞1
∴原不等式的解集为x＞1．
（3）由（1）知f（x）≤m²-2pm+1对任意x∈[-1，1]恒成立
只需1≤m²-2pm+1对p∈[-1，1]恒成立，即m²-2pm≥0对p∈[-1，1]恒成立设g（p）=m²-2mp，则g(-1)≥0g(1)≥0⇔m2+2m≥0m2-2m≥0解得m≤-2或m≥2或m=0
∴m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）∪{0}．

解析

f(x2)+f(-x1)x2+(-x1)

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。