设函数f(x)=4x2+4x，用定义证明：函数f是R上的增函数；证明：对任意的实数t，都有f+f=1；求值：f(1201

题文

设函数f(x)=4x2+4x，
（1）用定义证明：函数f（x）是R上的增函数；
（2）证明：对任意的实数t，都有f（t）+f（1-t）=1；
（3）求值：f(12012)+f(22012)+f(32012)+…+f(20112012)． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：设任意x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=4x12+4x1-4x22+4x2=2(4x1-4x2)(2+4x1)(2+4x2)，
∵x₁＜x₂，
∴4x1＜4x2，∴4x1-4x2＜0，
又2+4x1＞0，2+4x2＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），…（4分）
∴f（x）在R上是增函数                                   …（6分）
（2）对任意t，f（t）+f（1-t）=4t2+4t-4t-12+4t-1=4t2+4t-424t+4=2+4t2+4t=1．
∴对于任意t，f（t）+f（1-t）=1                                 …（10分）
（3）∵由（2）得f（t）+f（1-t）=1
∴f(12012)+f(20112012)=1，f(22012)+f(20102012)=1，
∴f(12012)+f(22012)+f(32012)+…+f(20112012)+f(20112012)+f(20102012)+f(20092012)+…+f(12012)=2011，
∴f(12012)+f(22012)+f(32012)+…+f(20112012)=20112…（14分）

解析

4x12+4x1

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=4x2+4x，（1）用定.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。