已知函数f(x)=x2+cax+b为奇函数，f=-3，且对任意x∈[π，2π]，f≥0恒成立，f≥0恒成立．求b的值

题文

已知函数f(x)=x2+cax+b为奇函数，f（1）=-3，且对任意x∈[π，2π]，f（sinx-1）≥0恒成立，f（cosx+3）≥0恒成立．
（1）求b的值；
（2）求证f（2）=0，并求f（x）解析式；
（3）若对任意t∈（1，2]，恒有f（tm）+f（-m-1-t²）＜0，求正数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）恒成立，即x2+c-ax+b=-x2+cax+b恒成立，
可得b=0（2分）
（2）∵π≤x≤2π，
∴-1≤sinx≤0，-1≤cosx≤1，
∴-2≤sinx-1≤-1，2≤cosx+3≤4
又∵f（sinx-1）≥0，f（cosx+3）≥0恒成立，
∴f（-2）≥0且f（2）≥0，
∵f（x）是奇函数，
∴由f（-2）≥0可得f（2）≤0，
∴f（2）=0（6分）
∴由f(2)=4+c2a=0，及f(1)=1+ca=-3，得c=-4，a=1，
∴f(x)=x2-4x（8分）
（3）∵f（x）是奇函数得f（tm）＜f（t²+m+1），
又∵f(x)=x2-4x=x-4x在（0，+∞）是增函数，m＞0，t＞0，
∴tm＞0，m+1+t²＞0∴tm＜t²+m+1，∴（t-1）m＜t²+1，（10分）
∵t∈（1，2]∴t-1＞0，
∴m＜t2+1t-1在t∈（1，2]上恒成立
设k=t-1，则k∈（0，1]且t²+1=k²++2k+2，设g(k)=k2+2k+2k=k+2k+2，
则g（k）在k∈（0，1]上单调递减，
∴g（k）_min=g（1）=5，∴m＜5，
又m＞0，所以0＜m＜5（12分）

解析

x2+c-ax+b

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x2+cax+b为奇函.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。