题文
已知f（x）为定义在R上的偶函数，x≥0时，f（x）=x2+4x+3，（1）求x＜0时函数的解析式
（2）用定义证明函数在[0，+∞）上是单调递增
（3）写出函数的单调区间． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）x＜0时，-x＞0∵x≥0时f（x）=x2+4x+3，
∴f（-x）=x2-4x+3（2分）
∵y=f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）（4分）
x＜0时，f（x）=x2-4x+3（6分）
∴f（x）=x2+ 4x+3，x≥0x2-4x+3，x＜0（8分）
（2）设任意的x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，
所以有f（x1）-f（x2）=x12+4x1-x22-4x2=（x1+x2）（x1-x2）+4（x1-x2）=（x1-x2）（x1+x2+4），
因为0＜x1＜x2，
所以x1-x2＜0，x1+x2+4＞0，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
故函数y=x2+4x+3在x∈[0，+∞）是单调递增函数．
（3）由（1）知x＜0时，f（x）=x2-4x+3，根据二次函数的单调性可得函数的单调减区间（-∞，0）
x≥0时f（x）=x2+4x+3，根据二次函数的单调性可得函数的单调增区间[0，+∞）
所以函数的单调区间为：（-∞，0），[0，+∞）．
解析
x2+ 4x+3，x≥0x2-4x+3，x＜0考点
据考高分专家说，试题“已知f（x）为定义在R上的偶函数，x≥0.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
