对于函数f，若存在xo∈R，使f=xo成立，则称xo为f的不动点．如果函数f=x2+abx-c有且仅有两个不动点0和2

题文

对于函数f（x），若存在x_o∈R，使f（x_o）=x_o成立，则称x_o为f（x）的不动点．如果函数f（x）=x2+abx-c（b，c∈N^*）有且仅有两个不动点0和2，且f（-2）＜-12．
（1）试求函数f（x）的单调区间；
（2）已知各项不为零的数列{a_n}满足4S_n•f（1an）=1，求证：-1an+1＜lnn+1n＜-1an；
（3）设b_n=-1an，T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：T₂₀₀₉-1＜ln2009＜T₂₀₀₈． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设x2+abx-c=x⇒（1-b）x²+cx+a=0（b≠1）
⇒2+0=-c1-b2×0=a1-b，∴a=0b=1+c2，∴f（x）=x2(1+c2)x-c
由f（-2）=-21+c＜-12⇒-1＜c＜3，又∵b，c∈N^*，∴c=2，b=2，
∴f（x）=x22(x-1)（x≠1）…（3分）
于是f′（x）=2x•2(x-1)-x2•24(x-1)2=x2-2x2(x-1)2
由f′（x）＞0得x＜0或x＞2；   由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜2，
故函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）和（2，+∞），
单调减区间为（0，1）和（1，2）…（4分）
（2）由已知可得2S_n=a_n-a_n²，当n≥2时，2S_n-1=a_n-1-a_n-1²
两式相减得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，∴a_n=-a_n-1或a_n-a_n-1=-1，
当n=1时，2a₁=a₁-a₁²⇒a₁=-1，若a_n=-a_n-1，则a₂=1这与a_n≠1矛盾
∴a_n-a_n-1=-1，∴a_n=-n                       …（6分）
于是，待证不等式即为1n+1＜lnn+1n＜1n．
为此，我们考虑证明不等式1x+1＜lnx+1x＜1x，x＞0．
令1=1x=t，x＞0，则t＞1，x=1t-1，
再令g（t）=t-lnt，g′（t）=1-1t，
    由t∈（1，+∞）知g′（t）＞0．
∴当t∈（1，+∞）时，g（t）单调递增
∴g（t）＞g（1）=0，
  于是t-1＞lnt，即1x＞lnx+1x，x＞0      ①
令h（t）=lnt-1+1t，h′（t）=1t-1t2=t-1t2，
由t∈（1，+∞）知h′（t）＞0，
∴当t∈（1，+∞）时，h（t）单调递增
∴h（t）＞h（1）=0   于是lnt＞1-1t即lnx+1x＞1x+1，x＞0  ②
由①、②可知1x+1＜lnx+1x＜1x，x＞0                  …（10分）
所以，1n+1＜lnn+1n＜1n，即-1an+1＜lnn+1n＜-1an       …（11分）
（3）由（2）可知b_n=1n   则T_n=1+12+13+…+1n
在1n+1＜lnn+1n＜1n中令n=1，2，3，…2008，并将各式相加得
12+13+…+12009＜ln21+ln32+…+ln20092008＜1+12+13+…+12008
即T₂₀₀₉-1＜ln2009＜T₂₀₀₈．                         …（14分）

解析

x2+abx-c

考点

据考高分专家说，试题“对于函数f（x），若存在xo∈R，使f（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。