已知函数f对任意x，y∈R，满足条件f+f=2+f，且f=5，求f+f的值；若f为R上的增函数

题文

已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足条件f（x）+f（y）=2+f（x+y），且f（3）=5，
（1）求f（1）+f（-1）的值；
（2）若f（x）为R上的增函数，证明：存在唯一的实数，使得对任意x∈（0，1），都有f（x²+2t²x）＜3成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）对任意x，y∈R，满足条件f（x）+f（y）=2+f（x+y），且f（3）=5，
∴f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-2=[f（1）+f（1）-2]+f（1）-2=3f（1）-4=5
解得f（1）=3．
∵f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-2=f（2）+3-2=5，
∴f（2）=4．
∵f（2）=f[3+（-1）]=f（3）+f（-1）-2=5+f（-1）-2=4．
∴f（-1）=1．
∴f（1）+f（-1）=4．
（2）证明：∵f（x）为R上的增函数，且对任意x∈（0，1），都有f（x²+2t²x）＜3=f（1），
∴对任意x∈（0，1），都有x²+2t²x＜1，
设y=x²+2t²x，
则y′=2x+2t²，
∵x∈（0，1），∴y′=2x+2t²＞0，
∴y=x²+2t²x在（0，1）内是增函数，
∴y=x²+2t²x的值域为（0，1+2t²），
∵对任意x∈（0，1），都有x²+2t²x＜1，
∴1+2t²≤1，解得t=0．
∴存在唯一的实数t=0，使得对任意x∈（0，1），都有f（x²+2t²x）＜3成立．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足条.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。