题文
现有一组互不相同且从小到大排列的数据a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0．记T=a0+a1+a2+a3+a4+a5，xn=n5，yn=1T(a0+a1+…+an)（n=0，1，2，3，4，5），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，4，5）的折线．（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；
（Ⅱ）设直线Pn-1Pn的斜率为kn（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；
（Ⅲ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）f(0)=a0a0+a1+a2+a3+a4+a5=0，…（2分）f(1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5a0+a1+a2+a3+a4+a5=1； …（4分）
（Ⅱ）kn=yn-yn-1xn-xn-1=5Tan，n=1，2，3，4，5． …（6分）
因为 a0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，
所以 k1＜k2＜k3＜k4＜k5． …（8分）
（Ⅲ）证：由于f（x）的图象是连接各点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，4，5）的折线，
要证明f（x）＜x（0＜x＜1），只需证明f（xn）＜xn（n=1，2，3，4）．…（9分）
事实上，当x∈（xn-1，xn）时，f(x)=f(xn)-f(xn-1)xn-xn-1•(x-xn-1)+f(xn-1)=xn-xxn-xn-1f(xn-1)+x-xn-1xn-xn-1f(xn)＜xn-xxn-xn-1xn-1+x-xn-1xn-xn-1xn=x．
下面证明f（xn）＜xn．
法一：对任何n（n=1，2，3，4），5（a1+a2+…+an）=[n+（5-n）]（a1+a2+…+an）…（10分）=n（a1+a2+…+an）+（5-n）（a1+a2+…+an）≤n（a1+a2+…+an）+（5-n）nan…（11分）=n[a1+a2+…+an+（5-n）an]＜n（a1+a2+…+an+an+1+…+a5）=nT…（12分）
所以 f(xn)=a1+a2+…+anT＜n5=xn．…（13分）
法二：对任何n（n=1，2，3，4），
当kn＜1时，yn=（y1-y0）+（y2-y1）+…+（yn-yn-1）=15(k1+k2+…+kn)＜n5=xn；…（10分）
当kn≥1时，yn=y5-（y5-yn）=1-[（yn+1-yn）+（yn+2-yn+1）+…+（y5-y4）]=1-15(kn+1+kn+2+…+k5)＜1-15(5-n)=n5=xn．
综上，f（xn）＜xn． …（13分）
解析
a0a0+a1+a2+a3+a4+a5考点
据考高分专家说，试题“现有一组互不相同且从小到大排列的数据a0.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
