设函数f=|1-1x|，证明：当0＜a＜b，且f=f时，ab＞1．

题文

设函数f（x）=|1-1x|（x＞0），证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：方法一：由师意f（a）=f（b）⇔|1-1a|=|1-1b|⇔（1-1a）²=（1-1b）²⇔2ab=a+b≥2ab
故ab-ab≥0，即ab（ab-1）≥0，故ab-1≥0，故ab＞1．
方法二：不等式可以变为f（x）=1x-1    x∈(0，1]1-1x    x∈(1，+∞).
对函数进行分析知f（x）在（0，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．
由0＜a＜b且f（a）=f（b），得0＜a＜1＜b且1a-1=1-1b，
即1a+1b=2⇔a+b=2ab≥2ab
故ab-ab≥0，即ab（ab-1）≥0，
故ab-1≥0，即ab＞1

解析

1a

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=|1-1x|（x＞0），.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。