题文
已知函数f（x）=（x-1x+1）2（x＞1）．（1）求f（x）的反函数f-1（x）；
（2）判定f-1（x）在其定义域内的单调性；
（3）若不等式（1-x）f-1（x）＞a（a-x）对x∈[116，14]恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由y=（x-1x+1）2，得x=1+y1-y．又y=（1-2x+1）2，且x＞1，
∴0＜y＜1．
∴f-1（x）=1+x1-x（0＜x＜1）．
（2）设0＜x1＜x2＜1，则x1-x2＜0，1-x1＞0，1-x2＞0．
∴f-1（x1）-f-1（x2）=2(x1-x2)(1-x1)(1-x2)＜0，
即f-1（x1）＜f-1（x2）．
∴f-1（x）在（0，1）上是增函数．
（3）由题设有（1-x）1+x1-x＞a（a-x）．
∴1+x＞a2-ax，即（1+a）x+1-a2＞0对x∈[116，14]恒成立．
显然a≠-1．令t=x，
∵x∈[116，14]，∴t∈[14，12]．
则g（t）=（1+a）t+1-a2＞0对t∈[14，12]恒成立．
由于g（t）=（1+a）t+1-a2是关于t的一次函数，
∴g（14）＞0且g（12）＞0，
即14(1+a)+1-a2＞012(1+a)+1-a2＞0
解得-1＜a＜54．
解析
x-1x+1考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=（x-1x+1）2（x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
