已知函数f是定义在R上的增函数，设F=f-f．用函数单调性的定义证明：F是R上的增函数；证明：函数y=F的图

题文

已知函数f（x）是定义在R上的增函数，设F（x）=f（x）-f（a-x）．
（1）用函数单调性的定义证明：F（x）是R上的增函数；
（2）证明：函数y=F（x）的图象关于点（a2，0）成中心对称图形． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则F（x₁）-F（x₂）
=f（x₁）-f（a-x₁）-[f（x₂）-f（a-x₂）]．
=[f（x₁）-f（x₂）]+[f（a-x₂）-f（a-x₁）]．
∵x₁＜x₂，∴-x₁＞-x₂，∴a-x₁＞a-x₂，
∵函数f（x）是定义在R上的增函数，∴f（x₁）＜f（x₂），f（a-x₂）＜f（a-x₁）．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，f（a-x₂）-f（a-x₁）＜0．
∴[f（x₁）-f（x₂）]+[f（a-x₂）-f（a-x₁）]＜0．
即F（x₁）＜F（x₂），
∴F（x）是R上的增函数．
（2）设M（x₀，y₀）为函数y=F（x）的图象上任一点，设点M（x₀，y₀）关于点（a2，0）的对称点为N（m，n），
则a2=x0+m2，0=y0+n2，，∴m=a-x₀，n=-y₀，
∵把m=a-x₀代入F（x）=f（x）-f（a-x）．
得，f（a-x₀）-f（a-a+x₀）=f（a-x₀）-f（x₀）=-y₀=n
即点N（m，n）在函数F（x）的图象上．
∴函数y=F（x）的图象关于点（a2，0）成中心对称图形．

解析

a2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）是定义在R上的增函数，设.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。