已知定义域为R的函数f=b-2x2x+a是奇函数．求a，b的值；用定义证明f在上为减函数；若对于任意t∈R，不等式f

题文

已知定义域为R的函数f（x）=b-2x2x+a是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；
（3）若对于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，可得b=1
又∵f（-1）=-f（1）
∴1-2-12-1+a=-1-2 2 +a，解之得a=1
经检验当a=1且b=1时，f（x）=1-2x2x+1，满足f（-x）=-f（x）是奇函数．    …（4分）
（2）由（1）得f（x）=1-2x2x+1=-1+2 2x+1，
任取实数x₁、x₂，且x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x₂）=2 2x1+1-2 2x2+1=2(2x2-2x1)(2x1+1)(2x2+1)
∵x₁＜x₂，可得2x1＜2x2，且(2x1+1)(2x2+1)＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；     …（8分）
（3）根据（1）（2）知，函数f（x）是奇函数且在（-∞，+∞）上为减函数．
∴不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，即f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k）
也就是：t²-2t＞-2t²+k对任意的t∈R都成立．
变量分离，得k＜3t²-2t对任意的t∈R都成立，
∵3t²-2t=3（t-13）²-13，当t=13时有最小值为-13
∴k＜-13，即k的范围是（∞，-13）．                                  …（12分）

解析

1-2-12-1+a

考点

据考高分专家说，试题“已知定义域为R的函数f（x）=b-2x2.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。