已知函数f(x)=axx+b，且f=1，f=4．求a、b的值；已知定点A，设点P是函数y=f图象

题文

已知函数f(x)=axx+b，且f（1）=1，f（-2）=4．
（1）求a、b的值；
（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜-1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；
（3）当x∈[1，2]时，不等式f(x)≤2m(x+1)|x-m|恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（1）=1，f（-2）=4．
得a=b+1-2a=4b-8
解得：a=2b=1（3分）
（2）由（1）f(x)=2xx+1，
所以|AP|2=(x-1)2+y2=(x-1)2+4(xx+1)2，
令x+1=t，t＜0，
则|AP|2=(t-2)2+4(1-1t)2=t2+4t2-4(t+2t)+8
=(t+2t)2-4(t+2t)+4=(t+2t-2)2
因为x＜-1，所以t＜0，
所以，当t+2t≤-22，
所以|AP|2≥(-22-2)2，（8分）
即AP的最小值是22+2，此时t=-2，x=-2-1
点P的坐标是(-2-1，2+2)．（9分）
（3）问题即为2xx+1≤2m(x+1)|x-m|对x∈[1，2]恒成立，
也就是x≤m|x-m|对x∈[1，2]恒成立，（10分）
要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．
法一：在0＜m＜1或m＞2下，问题化为|x-m|≤mx对x∈[1，2]恒成立，
即m-mx≤x≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，mx-m≤x²≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，
①当x=1时，12≤m＜1或m＞2，
②当x≠1时，m≥x2x+1且m≤x2x-1对x∈（1，2]恒成立，
对于m≥x2x+1对x∈（1，2]恒成立，等价于m≥(x2x+1)max，
令t=x+1，x∈（1，2]，则x=t-1，t∈（2，3]，x2x+1=(t-1)2t=t+1t-2，t∈（2，3]递增，
∴(x2x+1)max=43，m≥43，结合0＜m＜1或m＞2，
∴m＞2
对于m≤x2x-1对x∈（1，2]恒成立，等价于m≤(x2x-1)min
令t=x-1，x∈（1，2]，则x=t+1，t∈（0，1]，
x2x-1=(t+1)2t=t+1t+2，t∈（0，1]递减，
∴(x2x-1)min=4，
∴m≤4，
∴0＜m＜1或2＜m≤4，
综上：2＜m≤4（16分）
法二：问题即为2xx+1≤2m(x+1)|x-m|对x∈[1，2]恒成立，
也就是x≤m|x-m|对x∈[1，2]恒成立，（10分）
要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．
故问题转化为x|x-m|≤m对x∈[1，2]恒成立，
令g（x）=x|x-m|
①若0＜m＜1时，由于x∈[1，2]，故g（x）=x（x-m）=x²-mx，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，
依题意g（2）≤m，m≥43，舍去；
②若m＞2，由于x∈[1，2]，故g(x)=x(m-x)=-(x-m2)2+m24，
考虑到m2＞1，再分两种情形：
（ⅰ）1＜m2≤2，即2＜m≤4，g（x）的最大值是g(m2)=m24，
依题意m24≤m，即m≤4，
∴2＜m≤4；
（ⅱ）m2＞2，即m＞4，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，
故g（2）≤m，
∴2（m-2）≤m，
∴m≤4，舍去．
综上可得，2＜m≤4（16分）

解析

a=b+1-2a=4b-8

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=axx+b，且f（1）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。