f(x)=ax+bx2+1是定义在区间上的奇函数，且f(12)=25．求f解析式；证明：f为增函数；求不等式f（x-1

题文

f(x)=ax+bx2+1是定义在区间（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25．
（1）求f（x）解析式；
（2）证明：f（x）为增函数；
（3）求不等式f（x-1）+f（x）＜0的解． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）为奇函数
∴f（0）=0，即b=0，
又f(12)=12a14+1=25，解得a=1，
∴f(x)=xx2+1．…（4分）
（2）证明：设-1＜x₁＜x₂＜1
即△x=x₂-x₁＞0，
△y=f(x2)-f(x1)=x2x22+1-x1x12+1=(x2-x1)(1-x1x2)(x22+1)(x12+1)，
∵-1＜x₁＜1，-1＜x₂＜1，
∴-1＜x₁x₂＜1，
∴1-x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，
∴(x22+1)(x12+1)＞0，
∴△y＞0，
∴f（x）在（-1，1）上为增函数．
（3）∵f（x）为奇函数
又f（x-1）+f（x）＜0
∴f（x-1）＜-f（x）=f（-x）…（9分）
又f（x）在（-1，1）上为增函数
∴-1＜x-1＜1-1＜x＜1x-1＜-x，
∴0＜x＜12，
∴不等式f（x-1）+f（x）＜0的解集为{x|0＜x＜12}．…（14分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“f(x)=ax+bx2+1是定义在区间（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。