已知定义在R上的奇函数f，对任意实数x，满足f=-f，且当0＜x≤1时，f=3x+1．求f、f和f的值；（

题文

已知定义在R上的奇函数f（x），对任意实数x，满足f（x+2）=-f（x），且当0＜x≤1时，f（x）=3^x+1．
（Ⅰ）求f（0）、f（2）和f（-2）的值；
（Ⅱ）证明函数f（x）是以4为周期的周期函数；
（Ⅲ）当-1≤x≤3时，求f（x）的解析式（结果写成分段函数形式）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为函数f（x）是奇函数，所以f（0）=0，
由f（x+2）=-f（x），得f（2）=-f（0）=0．
因为f（-2+2）=-f（-2）=f（0），
所以f（-2）=0．
（Ⅱ）由f（x+2）=-f（x），得f（x+4）=f（x），所以函数是周期函数，且周期为4．
（Ⅲ）因为函数f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），
所以f（x+2）=-f（x）=f（-x），所以函数关于x=1对称．
当-1≤x＜0时，0＜-x≤1，所以f（-x）=3^-x+1=-f（x），所以此时f（x）=-3^-x-1．
当0＜x≤1时，f（x）=3^x+1．
当1＜x≤2时，-1＜x-2≤0，此时f（x）=f（x-2+2）=-f（x-2）=3^2-x+1，
当2＜x≤3时，0＜x-2≤1，此时f（x）=f（x-2+2）=-f（x-2）=-[3^x-2+1]=-3^x-2-1．
综上f(x)=-3-x-1，-1≤x＜00，x=03x+1，0＜x≤132-x+1，1＜x≤2-3x-2-1，2＜x≤3．

解析

-3-x-1，-1≤x＜00，x=03x+1，0＜x≤132-x+1，1＜x≤2-3x-2-1，2＜x≤3

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的奇函数f（x），对任意实.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。