题文
（本小题满分14分）已知函数
.
(1)求证：函数
在
上是单调递增函数；
(2)当
时，求函数在
上的最值；
(3)函数
在
上恒有
成立，求
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1) 函数在
上是单调递增函数. (2)
的最小值为
，此时
；无最大值. (3)
的取值范围是
.
解析
(1)证明函数
在
上是单调递增函数本质就是证明
在
上恒成立.
（2）当
时,令
，然后得到极值点，进而求出极值，再与
值比较从而得到f(x)的最大值与最小值.
(3) 函数
在
上恒有
成立问题应转化为
,
然后利用导数研究f(x)在区间[1,2]的极值，最值即可求出其最小值，问题得解.
(1)（法一：定义法）
任取
且
,则
. ········1分
∵
，
∴
. ·······3分
∴ 函数
在
上是单调递增函数. ········4分
（法二：导数法）
当
，
∴ 函数
在
上是单调递增函数. ········4分
(2) 当
时，
；
由（1）知函数
在
上是单调递增函数. ·······5分
∴
，即
·······7分
∴
的最小值为
，此时
；无最大值. ·······8分
(3) 依题意，
，即
在
上恒成立.
∵函数
在
上单调递减，∴
······11分
∴
，
又
. ∴
故
的取值范围是
. ·······14分
点评：（1）连续可导函数在某个区间I上单调递增（减）等价于
在区间I上恒成立.
（2）在求某个区间上的最值时，应先求出极值，然后从极值与区间端点对应的函数值当中找到最大值和最小值.
（3）不等式恒成立问题一般要转化为函数最值来研究.
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知函数.(1)求证.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
