题文
（本题满分15分）已知
在定义域上是奇函数，且在
上是减函数，图像如图所示.
（1）化简：
；
（2）画出函数
在
上的图像；
（3）证明:
在
上是减函数.
题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；
（2）图像
（3）函数
在区间
上是减函数.
解析
(I)由于f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x),所以可知
,因而所求式子的结果为0.
(II)根据奇函数的图像关于原点对称，直接可画出在对称区间[-b,-a]上的图像.
（III）利用函数的单调性的定义及函数的奇偶性进行证明.
第一步：取值，第二步：作差变形，第三步根据差值符号得到结论.
（1）
……
（2）图像……
（3）任取
，且
……
.
又函数
在
上是减函数，所以
. ……
因为
是奇函数，所以
，即
，
故函数
在区间
上是减函数. ……
.
点评：函数的奇偶性一要看定义域是否关于原点对称，二要看f(-x)与f(x)是相等还是互为相反数.奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称.利用函数的单调性定义证明分三个步骤：一取值，二作差变形，三判断差值符号.
考点
据考高分专家说，试题“（本题满分15分）已知在定义域上是奇函数.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
