已知函数为偶函数.(1) 求的值；(2) 用定义证明函数在上是单调减函数；(3) 如果,求实数的取值范围.

题文

（本题满分16分）已知函数

（其中

为常数，

）为偶函数.
(1) 求

的值；
(2) 用定义证明函数

在

上是单调减函数；
(3) 如果

,求实数

的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

；（2）见解析；（3）

解析

(1)

是偶函数有

即

.…………4分
(2)由(1)

.    设

,        ………………6分
则

. ……………………8分






.




在

上是单调减函数. ……………………10分
(3)由(2)得

在

上为减函数,又

是偶函数,所以

在

上为单调增函数.               ……………………………………………12分
不等式

即

,4>

.
解得

.   所以实数

的取值范围是

.…………………16分
说明(3)如果是分情况讨论,知道分类给2分.并做对一部分则再给2分.
点评：解这类

不等式，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的单调性，去掉“f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

考点

据考高分专家说，试题“（本题满分16分）已知函数（其中为常数，.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。