题文
设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0.(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x>0时,证明不等式:
答案
(1) f(x)在(-1,
)为减，在（
，+
）为增
(2)将所证明的不等式利用构造函数，借助于导数的思想求解最值，来证明不等式恒大于等于零或者恒小于等于零即可。
(3)在上一问的基础上，进一步分析得到a的表达式，利用构造函数来求证。
解析
解：（1）f’(x)=
(x>-1,a>0)
令f’(x)=0
f(x)在(-1,
)为减，在（
，+
）为增 f (x)min=f(
)=1-(a+1)ln(
+1)
（2）设F(x)=ln(x+1)-
F’(x)=
F(x)在（0，+
）为增函数
F(x)>F(0)="0"
F(x)>0即
G(x)=x-ln(x+1)(x>0)
G’(x)=1-
G(x)在（0，+
）为增函数
G(x)>G(0)="0"
G(x)>0即ln(x+1)
（3）由（1）知：
点评：导数在函数中的应用，频率最多的试题就是考查函数的单调性，以及证明不等式。那么对于后者的求解，关键是构造函数，借助于函数的最值来得到证明。
考点
据考高分专家说，试题“设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
