题文
（本小题满分13分）已知
R，函数
．
（1）求
的单调区间；
（2）证明：当
时，
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）当
时，
恒成立，此时
的单调区间为
当
时，
，此时
的单调递增区间为
和
，
单调递减区间为
（2）构造函数，利用放缩法的思想来求证不等式的成立。
解析
解：（1）由题意得
………2分
当
时，
恒成立，此时
的单调区间为
……4分
当
时，
，
此时
的单调递增区间为
和
，
单调递减区间为
……………6分
(2)证明：由于
，所以当
时，
…………8分
当
时，
……10分
设
，则
，
于是
随
的变化情况如下表：
0
1
0
1
减
极小值
增
1
所以，
…………12分
所以，当
时，
，
故
…………13分
（2）另解：由于
，所以当
时，
．
令
，则
．
当
时，
在
上递增，
………8分
当
时，
，
在
上递减，在
上递增，所以
．
故当
时，
………10分
当
时，
．
设
，则
，
③当
时，
在
上递减，
……11分
④当
时，
在
上递减，在
上递增，所以
．
故当
时，
．
故
…………13分
点评：对于含有参数的函数的单调区间的求解，这一点是高考的重点，同时对于参数的分类讨论思想，这是解决这类问题的难点，而分类的标准一般要考虑到函数的定义域对于参数的制约，进而分析得到。而不等式的恒成立问题，常常转化为分离参数 思想，求解函数的最值来完成。属于难度题。
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分13分）已知R，函数．（1）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
