题文
（本小题满分12分）已知函数
为自然对数的底数）.
当
时,求
的单调区间;若函数
在
上无零点,求
最小值;
若对任意给定的
,在
上总存在两个不同的
),使
成立,求
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,
).
(2)
的最小值为
.
(3)
时，对任意给定的
，在
上总存在两个不同的
），使得
成立。
解析
解：（I）当
时,
,则
.由
得
;由
得
.故
的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,
).
(II)因为
在区间
上恒成立是不可能的,故要使函数
在
上无零点,只要对任意
,
恒成立.即对
,
恒成立.令
，
，则
，再令
，
，则
。故
在
为减函数，于是
，从而
，于是
在
上为增函数，所以
，故要使
恒成立，只要
.综上可知，若函数
在
上无零点，则
的最小值为
.
（III）
，所以
在
上递增，在
上递减.又
，
，所以函数
在
上的值域为
.当
时，不合题意；当
时，
，
。
当
时，
，由题意知，
在
上不单调，故
，即
。此时，当
变化时，
，
的变化情况如下：
—
0
+
↘
最小值
↗
又因为当
时，
，
，
，所以，对任意给定的
，在
上总存在两个不同的
），使得
成立，当且仅当
满足下列条件：
，令
，
，则
，故当
时
，函数
单调递增，当
时
，函数
单调递减，所以，对任意的
，有
，即(2)对任意
恒成立，则(3)式解得
(4)。综合(1)、(4)可知，当
时，对任意给定的
，在
上总存在两个不同的
），使得
成立。
点评：解决该试题的关键是能利用函数的导数符号判定其单调性，以及根据函数的单调性得到最值，同时能结合函数与方程的知识求解根的问题，属于中档题。
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）已知函数为自然对数的.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
