已知函数若在上单调递增，求的取值范围；若定义在区间D上的函数对于区间上的任意两个值总有以下不等式成立，则称函数为区间上的 “凹函数”．试证当时，为“

题文

已知函数


（1）若

在

上单调递增，求

的取值范围；
（2）若定义在区间D上的函数

对于区间

上的任意两个值

总有以下不等式

成立，则称函数

为区间

上的 “凹函数”．试证当

时，

为“凹函数”． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

（2）理解凹函数的定义 ，然后结合中点函数值与任意两点的函数值和的关系式作差法加以证明。

解析

解(1)由

,得


函数为

上单调函数. 若函数为

上单调增函数,则

在

上恒成立,即不等式

在

上恒成立. 也即

在

上恒成立.
令

,上述问题等价于

,而

为在

上的减函数,则

,于是

为所求.
(2)证明:由

得





 



而

 ①
又

, ∴

 ②
∵

  ∴

,
∵

 ∴

 ③ 
由①、②、③得


即

,从而由凹函数的定义可知函数为凹函数
点评：结合均值不等式的思想，以及函数的解析式来求解，属于中档题。

考点

据考高分专家说，试题“已知函数（1）若在上单调递增，求的取值范.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。