题文
设函数
，
。
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）（i）设
是
的导函数，证明：当
时，在
上恰有一个
使得
；
（ii）求实数
的取值范围，使得对任意的
，恒有
成立。
注：
为自然对数的底数。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）的减区间是
；增区间是
（2）在
上恰有一个
使得
.
（ⅱ）
。
解析
（1）当
时，
1分
当
时，
；当
时，
所以函数
的减区间是
；增区间是
3分
（2）（ⅰ）
4分
当
时，
；当
时，
因为
，所以函数
在
上递减；在
上递增 6分
又因为
，
所以在
上恰有一个
使得
. 8分
（ⅱ）若
，可得在
时，
，从而
在
内单调递增，而
，
，不符题意。
由（ⅰ）知
在
递减，
递增，
设
在
上最大值为
则
，
若对任意的
，恒有
成立，则
， 11分
由
得
，
，
又
，
。 13
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，首先通过求导数，研究导数值的正负情况，确定函数单调区间。应用同样的方法，研究函数图象的形态，明确方程解的情况。作为“恒成立问题”往往转化成求函数的最值。
考点
据考高分专家说，试题“设函数，。（1）当时，求的单调区间；（2.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
