题文
已知
，函数
（1）求
的极小值；
（2）若
在
上为单调增函数，求
的取值范围；
（3）设
，若在
（
是自然对数的底数）上至少存在一个
，使得
成立，求
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
．（2）
的取值范围是
．
（3）要在
上存在一个
，使得
，必须且只需
．
解析
（1）由题意，
，
，∴当
时，
；当
时，
，所以，
在
上是减函数，在
上是增函数，故
． 4分
（2）
，
，由于
在
内为单调增函数，所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，故
，所以
的取值范围是
． 9分
（3）构造函数
，
当
时，由
得，
，
，所以在
上不存在一个
，使得
．
当
时，
，因为
，所以
，
，所以
在
上恒成立，故
在
上单调递增，
，所以要在
上存在一个
，使得
，必须且只需
，解得
，故
的取值范围是
．
另法:（Ⅲ）当
时，
．
当
时，由
，得
， 令
，则
，所以
在
上递减，
．
综上，要在
上存在一个
，使得
，必须且只需
．
点评：难题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。通过研究函数的单调区间、极值，最终确定最值情况。涉及恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，得到解题目的。
考点
据考高分专家说，试题“已知，函数（1）求的极小值；（2）若在上.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
