题文
已知函数
，
。
（1）若对任意的实数a，函数
与
的图象在x = x0处的切线斜率总想等，求x0的值；
（2）若a > 0，对任意x > 0不等式
恒成立，求实数a的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）a-1（2）
解析
解：(Ⅰ)
恒成立，
恒成立即
.
方法一：
恒成立，则
而当
时，
则
，
，
在
单调递增，
当
，
，
在
单调递减，
则
，符合题意.
即
恒成立，实数
的取值范围为
；
方法二：
，
(1)当
时，
，
，
，
在
单调递减，
当
，
，
在
单调递增，
则
，不符题意；
(2)当
时，
，
①若
，
，
，
，
单调递减；当
，
，
单调递增，则
，矛盾，不符题意；
②若
，
（Ⅰ）若
，
；
；
，
在
单调递减，
在
单调递增，
在
单调递减，
不符合题意；
（Ⅱ）若
时，
，
，
在
单调递减，
，不符合题意.
（Ⅲ）若
，
，
，
，
，
，
，
，
在
单调递减，在
单调递增，在
单调递减，
，与已知矛盾不符题意.
（Ⅳ）若
，
，
，
，
在
单调递增；
当
，
，
在
单调递减，
则
，符合题意；
综上，得
恒成立，实数
的取值范围为
(Ⅱ) 由(I)知，当
时，有
，
；于是有
，
.
则当
时，有
在上式中，用
代换
，可得
相乘得
点评：解决的关键是借助于导数的符号来判定函数的单调性，以及函数的最值，进而证明不等式，属于基础题。
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，。（1）若对任意的实数a，函数.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
