已知函数f(x)=.(1)若f(x)=2，求x的值；(2)判断x>0时，f(x)的单调性；(3)若恒成立，求m的取值范围。

题文

已知函数f(x)=

.
(1)若f(x)=2，求x的值；
(2)判断x>0时，f(x)的单调性；
(3)若

恒成立，求m的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) x＝log₃(1＋

) ；
(2) f(x)＝3^x－

在(0，＋∞)上单调递增 ；
(3) [－4，＋∞).

解析

(1)当x≤0时，f(x)＝3^x－3^x＝0，∴f(x)＝2无解．
当x>0时，f(x)＝3^x－

，令3^x－

＝2，
∴(3^x)²－2·3^x－1＝0，∴3^x＝1±

.
∵3^x>0，∴3^x＝1－

 (舍)．∴3^x＝1＋

.∴x＝log₃(1＋

)             4分
(2)当x>0，f(x)＝3^x－

.∵y＝3^x在(0，＋∞)上单调递增，
y＝

在(0，＋∞)上单调递减．
∴f(x)＝3^x－

在(0，＋∞)上单调递增        8分
(3)∵t∈[

，1]，∴f(t)＝3^t－

>0，
∴3^tf(2t)＋mf(t)≥0化为3^t(3^2t－

)＋m(3^t－

)≥0.
即3^t(3^t＋

)＋m≥0.即m≥－3^2t－1.
令g(t)＝－3^2t－1，则g(t)在[

，1]上递减，
∴g(x)_max＝－4.
∴所求实数m的取值范围是[－4，＋∞)         13分
点评：中档题，解简单的指数方程，一般是考虑化同底数指数幂相等或利用“换元法”，转化成一元二次方程求解。不等式恒成立问题，一般是利用“分离参数法”，转化成求函数最值问题。

考点

据考高分专家说，试题“ 已知函数f(x)=.(1)若f(x)=.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。