题文
已知函数
,
（1） 当
时,求曲线
在
处的切线方程；
（2）求函数
的单调区间. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
（2）①
的单调递减区间为
,
,
②当
的单调递减区间为
,
，单调递增区间为
,
③当
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
解析
（1）解：当
时，
,
，
所以
在
处的切线方程为
,
（II）解：
,当
时
,
又函数的定义域为
, 所以
的单调递减区间为
,
,
当
时，
的单调递减区间为
,
，单调递增区间为
,
当
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
点评：本题以三次函数为载体，主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
考点
据考高分专家说，试题“已知函数,（1） 当时,求曲线在处的切线.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
