已知函数，其中为常数，设为自然对数的底数．当时，求的最大值；若在区间上的最大值为，求的值．

题文

已知函数

，其中

为常数，设

为自然对数的底数．
（1）当

时，求

的最大值；
（2）若

在区间

上的最大值为

，求

的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)

     (2)

解析

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a=-1时，f（x）=lnx-x，f′（x）=

-1=

令f′（x）＞0得，0＜x＜1，令f′（x）＜0得，x＞1或x＜0，∴函数f（x）增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；
（2）f′（x）=


①当a>0时，x＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0．e]上是增函数，
∴f（x）_max=f（e）=2，∴a+1=2,∴a=e符号题意；
②当a<0时，令f′（x）=0得x=-

，
1°若0＜-

≤e，即-

≤a＜0时


∴f（x）_max=f（-a）=2
∴-1+ln（-a）=2，
∴a=-e²不符号题意，舍去；
2°若-a＞e，即a＜-e时，在（0，e]上f′（x）＞0．∴f（x）在（0．e]上是增函数，故f（x）_max=f（

）=2∴a=

不符号题意，舍去；故a=


点评：考查利用导数的方法研究函数的单调性、极值、最值和分类讨论的思想方法，注意函数的定义域；属难题

考点

据考高分专家说，试题“已知函数，其中为常数，设为自然对数的底数.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。