题文
已知函数
若函数
在
和
上是增函数，在
是减函数，求
的值；
讨论函数
的单调递减区间；
如果存在
，使函数
，
，在
处取得最小值，试求
的最大值. 题型：未知 难度：其他题型
答案
;
当
时，单调减区间为
当
时，单调减区间为
;
.
解析
通过求导以及极值点的导数计算
的值为1；
通过导数与函数的单调性关系讨论函数
的单调减区间；
先写出
函数表达式，是一个三次多项式.由
，
在
处取得最小值知
在区间
上恒成立，从而得
再讨论
与
时利用二次函数在闭区间的最值问题解得
.
试题解析：（Ⅰ）
1分
函数
在
和
上是增函数，在
上是减函数，
∴
为
的两个极值点，∴
即
3分
解得：
4分
（Ⅱ）
，
的定义域为
，
5分
当
时，由
解得
，
的单调减区间为
7分
当
时，由
解得
，
的单调减区间为
9分
（Ⅲ）
，据题意知
在区间
上恒成立，即
① 10分
当
时，不等式①成立；
当
时，不等式①可化为
② 11分
令
，由于二次函数
的图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间上的最小值必在端点处取得，又
，所以不等式②恒成立的充要条件是
，即
12分
即
，因为这个关于
的不等式在区间
上有解，所以
13分
又
，故
，
14分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数若函数在和上是增函数，在是减函数.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
