题文
已知函数
,
.
（1）若
, 函数
在其定义域是增函数，求
的取值范围；
（2）在（1）的结论下，设函数
的最小值；
（3）设函数
的图象
与函数
的图象
交于点
，过线段
的中点
作
轴的垂线分别交
、
于点
、
，问是否存在点
，使
在
处的切线与
在
处的切线平行？若存在，求出
的横坐标；若不存在，请说明理由. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）当
时，
的最小值为
；当
时，
的最小值为
；当
时，
的最小值为
；（3）不存在点.
解析
本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、不等式基础知识，考查函数思想、构造函数思想、分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，利用导数研究函数的单调性，转化为恒成立问题，再转化为求函数最值问题；第二问，利用配方法求最值，讨论对称轴与区间端点的大小，本问突出体现了分类讨论思想的运用；第三问，把问题坐标化，用反证法证明，利用切线平行，列出方程，构造函数，判断单调性求最值，得出矛盾.
试题解析：（1）依题意：
在
上是增函数，
对
恒成立， 2分
∴
∵
,则
.
∴
的取值范围为
4分
（2）设
，则函数化为
∵
∴当
，即
时，函数
在
上为增函数.
当
时，
； 6分
当
，即
时，当
时，
；
当
，即
时，函数
在
上是减函数.
当
时，
8分
综上所述，当
时，
的最小值为
.
当
时，
的最小值为
.
当
时，
的最小值为
. 9分
（3）设点
的坐标是
且
则点
的横坐标为
在点
处的切线斜率为
在点
处的切线斜率为
10分
假设
在点
处的切线与
在点
处的切线平行，则
则
11分
则
设
，则
① 12分
令
，则
∵
，∴
，所以
在
上单调递增，
故
，则
.
这与①矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. 14分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数, .（1）若, 函数在其定义域.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
