题文
已知函数
满足
,当
时,
,当
时,
的最大值为-4．
(I)求实数
的值；
(II)设
，函数
，
．若对任意的
,总存在
,使
,求实数
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
(I)
； (II)
解析
(I) 因为函数
满足
,当
，所以可得f(x)=2f(x+2)=4f(x+4)当x
(-4,-2),则x+4
(0,2)这样就可以f(x)=4f(x+4)=4ln(x+4)+4
(x+4).所以通过求导可求出f(x)的导数，再根据
的取值范围求出函数的单调区间即可求出最大值.从而解出
的值.
(II)假设
的值域为A，
的值域为B，则由已知，对于任意的
，使
得，
即函数f(x)值域的范围比函数g(x)值域的范围小即可.对于函数g(x)的单调性要考虑b的值.再根据，
即可得结论.
试题解析：(I)由已知，得2f(x+2)=f(x),所以f(x)=2f(x+2)=4f(x+4).又因为x
(0,2)时，f(x)=lnx+
x.设x
(-4,-2),则x+4
(0,2).所以f(x+4)="ln(x+4)+"
(x+4).所以x
(-4,-2)时，f(x)=4f(x+4)=4ln(x+4)+4
(x+4).所以
.因为x
(-4,-2).所以
.因为
.所以
.又由
可得
.所以f(x)在
上是增函数，在
上是减函数.所以
.所以
.
（II）设
的值域为A，
的值域为B，则由已知，对于任意的
，使
得，
．
由（I）
=-1，当
时,
,
,
∵
,∴
，
在
上单调递减函数,
∴
的值域为 A=
∵
,
∴（1）当
时，
在
上是减函数，此时，
的值域为
，
为满足
，又
∴
即
． 12分
（2）当
时，
在
上是单调递增函数，此时，
的值域为
，为满足
，又,∴
,∴
,
综上可知b的取值范围是
．
考点
据考高分专家说，试题“已知函数满足,当时,,当时, 的最大值为.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
