题文
已知函数
，
．
（1）若
，判断函数
的奇偶性，并加以证明；
（2）若函数
在
上是增函数，求实数
的取值范围；
（3）若存在实数
使得关于
的方程
有三个不相等的实数根，求实数
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）奇函数，（2）
，(3)
解析
（1）函数奇偶性的判定，一要判定定义域是否关于原点对称，二要判定
与
是否相等或相反，（2）函数
是分段函数，每一段都是二次函数的一部分，因此研究
单调性，必须研究它们的对称轴，从图像可观察得到实数
满足的条件：
，(3)研究方程根的个数，通常从图像上研究，结合（2）可研究出函数
图像.分三种情况研究，一是
上单调增函数，二是先在
上单调增，后在
上单调减，再在
上单调增，三是先在
上单调增，后在
上单调减，再在
上单调增.
试题解析：（1）函数
为奇函数．
当
时，
，
，∴
∴函数
为奇函数； 3分
（2）
，当
时，
的对称轴为：
；
当
时，
的对称轴为：
；∴当
时，
在R上是增函数，即
时，函数
在
上是增函数； 7分
（3）方程
的解即为方程
的解．
①当
时，函数
在
上是增函数，∴关于
的方程
不可能有三个不相等的实数根； 9分
②当
时，即
，∴
在
上单调增，在
上单调减，在
上单调增，∴当
时，关于
的方程
有三个不相等的实数根；即
，∵
∴
．
设
，∵存在
使得关于
的方程
有三个不相等的实数根， ∴
，又可证
在
上单调增
∴
∴
； 12分
③当
时，即
，∴
在
上单调增，在
上单调减，在
上单调增，
∴当
时，关于
的方程
有三个不相等的实数根；
即
，∵
∴
，设
∵存在
使得关于
的方程
有三个不相等的实数根，
∴
，又可证
在
上单调减∴
∴
； 15分
综上：
． 16分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，．（1）若，判断函数的奇偶性，.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
