题文
已知椭圆
(a>b>0)的左焦为F,右顶点为A,上顶点为B,O为坐标原点,M为椭圆上任意一点,过F,B,A三点的圆的圆心为(p,q).
(1).当p+q≤0时,求椭圆的离心率的取值范围;
(2).若D(b+1,0),在(1)的条件下,当椭圆的离心率最小时,
的最小值为
,求椭圆的方程. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）
.
解析
本题主要考查直线和圆的方程、椭圆的方程、离心率、向量的运算、二次函数的最值等基础知识，意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力以及利用函数与方程思想、数形结合思想的解题能力.
第一问，利用AF、AB的中垂线的交点为圆心，得到圆心坐标，由已知令
，解出a，c的关系，从而求离心率e的范围；第二问，结合第一问得
，则得出基本量a，b，c的关系，设出椭圆方程，用c表示，并确定点M的横坐标的取值范围，利用向量的数量积，得出关于x的表达式，利用配方法，通过讨论抛物线的对称轴
与
的大小来决定最小值在哪个位置取得，令最小值等于
，解出c的值，从而确定椭圆的标准方程.
试题解析：（1）设半焦距为
.由题意
的中垂线方程分别为
，
于是圆心坐标为
.所以
，
整理得
， 4分
即
，
所以
，于是
，即
.
所以
，即
. 6分
（2）当
时，
，此时椭圆的方程为
，
设
，则
，
所以
. 8分
当
时，上式的最小值为
，即
，得
； 10分
当
时，上式的最小值为
，即
，
解得
，不合题意，舍去.
综上所述，椭圆的方程为
. 12分
考点
据考高分专家说，试题“已知椭圆(a>b>0)的左焦.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
