题文
已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
（2）若不等式
有解，求实数m的取值菹围；
（3）证明：当a=0时，
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)参考解析；（2）
；（3）参考解析
解析
(1)由于
，
.需求
的单调区间，通过对函数
求导，在讨论
的范围即可得函数
的单调区间.
（2）本小题可等价转化为，求实数m的取值菹围，使得
有解，等价于
小于函数
，
的最小值.所以对函数
求导，由导函数的解析式，通过应用基本不等式，即可得到函数
的单调性，从而得到最小值.即可得到结论.
（Ⅲ）由于）当
时，
.本小题解法通过构造
.即两个函数
与
的差，通过等价证明函数
的最小值与函数
的最大值的差大于2.所以对两个函数分别研究即可得到结论.
试题解析：(1)
的定义域是
，
当
时，
，所以在
单调递增；
当
时，由
，解得
.则当
时.
，所以
单调递增.当
时，
，所以
单调递减.综上所述：当
时，
在
单调递增；当
时，
在
上单调递增，在
单调递减.
（2）由题意：
有解，即
有解，因此只需
有解即可，设
，
，因为
，且
时
，所以
，即
.故
在
上递减，所以
故
.
（Ⅲ）当
时，
，
与
的公共定义域为
，
，设
，
.因为
，
在
单调递增.
.又设
，
，
.当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减.所以
为
的极大值点，即
.故
.
考点
据考高分专家说，试题“已知函数.(1)当时，求的单调区间；（2.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
