题文
定义在R上的函数
及二次函数
满足：
且
.
（1）求
和
的解析式；
（2）对于
，均有
成立，求
的取值范围；
（3）设
，讨论方程
的解的个数情况． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
，
；（2）
的取值范围为
；（3）
有5个解.
解析
（1）根据已知的函数方程
，可以得到
，联立已知条件的函数方程，即可解得
，又由条件二次函数
及
，可设
，再根据
，可求得
；（2）问题等价于求使
，
恒成立的
的取值范围，即求当
，
使
成立的
的取值范围，通过判断
的单调性可知，其在
上单调递增，因此只需
，由（1）求得的二次函数
的解析式，可得只需
，即
的取值范围为
；（3）根据条件及（1），（2）所求得的解析式，可画出
的示意图，根据示意图，可以得到方程
即等价于
或
，再从
示意图上可得：
有2个解,
有
个解，因此
有
个解.
试题解析：（1）
,①
即
②
由①②联立解得:
. 2分，
是二次函数, 且
,可设
,
由
,解得
.∴
，
∴
，
5分；
（2）设
,
,
依题意知:当
时,
,在
上单调递减,
∴
7分
∴
在
上单调递增,，∴
∴
解得:
，
∴实数
的取值范围为
. 10分；
由题意，可画出
的示意图如图所示:
令
,则
∴
，由示意图可知：
有2个解,
有
个解.
∴
有
个解. 14分.
考点
据考高分专家说，试题“定义在R上的函数及二次函数满足：且.（1.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
