题文
函数
.
（1）若
，函数
在区间
上是单调递增函数，求实数
的取值范围；
（2）设
，若对任意
恒成立，求
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）
.
解析
（1）由题意可得，当
时，
在区间
上是单调递增函数等价于对于任意的
，
（不妨
），
恒成立，从而将问题转化为
在
恒成立，即有
，
在
上恒成立，而的
，
，且
，故有
，因此分析可得要使
恒成立，只需
，即有实数
的取值范围是
；（2）由题意分析可得问题等价于在
上，
，从而可将问题转化为在
上，求二次函数
的最大值与最小值，因此需要对二次函数的对称轴
分以下四种情况讨论：①当
，即
；②当
，即
；③当
，即
；④当
，即
，结合二次函数的图像和性质，可分别得到
在以上四种情况下的最大值与最小值，从而可得实数
的取值范围是
.
试题解析：（1）
时，
，
任设
，
， ..2分
，
∵函数
在
上是单调递增函数，∴恒有
，..........3分
∴恒有
，即恒有
， .4分
当
时，
，∴
，∴
，即实数
的取值范围是
..6分
（2）当
时
，
对任意
有
恒成立等价于
在
上的最大值与最小值之差
..7分
当
，即
时，
在
上单调递增，
∴
，
，∴
，与题设矛盾； ..9分
当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，∴
，
，∴
恒成立，
即有
， ..11分
当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，
，
∴
恒成立，∴
； .13分
当
，即
时，
在
上单调递减，
∴
，
，∴
，与题设矛盾， .15分
综上所述，实数
的取值范围是
． 16分
考点
据考高分专家说，试题“函数.（1）若，函数在区间上是单调递增函.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
