已知函数f(x)=13x3+2ax2+ax+b(a≠0)，A={x∈R|f′(x)=0}，B={a|a(1+x1)(1+x2)-2(1-4a-x1)(1-4a-

题文

已知函数f(x)=13x3+2ax2+ax+b(a≠0)，A={x∈R|f′(x)=0}，B={a|a(1+x1)(1+x2)-2(1-4a-x1)(1-4a-x2)≤a-2，且x1，x2∈A}．
（1）求集合B；
（2）若x∈B，且x∈Z，求证：tan1x＞1x；
（3）比较sin12012与sin12013的大小，并说明理由．题型：未知难度：其他题型

答案

（1）∵函数f(x)=13x3+2ax2+ax+b(a≠0)，A={x∈R|f′(x)=0}，
∴f′（x）=x²+4ax+a，
∵x₁，x₂∈A，∴f′（x）=0有两个实根，
∴x₁+x₂=-4a，x₁x₂=a，△=16a²-4a＞0，
∴a＞14，或a＜0，
∵（1+x₁）（1+x₂）=1+（x₁+x₂）+x₁x₂=1-4a+a=1-3a，
（1-4a-x₁）（1-4a-x₂）=1-8a+16a²+（4a-1）（x₁+x₂）+x₁x₂
=1-3a．
∵B={a|a(1+x1)(1+x2)-2(1-4a-x1)(1-4a-x2)≤a-2，且x1，x2∈A}，
∴a1-3a-21-3a=a-21-3a≤a-2，
∴(a-2)(1-1+3a)1-3a≤0，即3a(a-2)3a-1≥0，
解得0＜a＜13，或a≥2．
综上所述，B={a|14＜a＜13，或a≥2}．
（2）∵x∈Z，且x∈B，∴x≥2，∴1x∈（0，12]，
令t=1x∈（0，π2），令R（t）=tant-t，
则R′(t)=cos2t+sin2tcos2t-1=tan²t＞0，
∴R（t）在（0，π2）上单调递增，
∴R（t）＞R（0）=0，∴tant-a＞0，
∴tan1x＞1x．
（3）由（2）得x≥2时，tan1x＞1x，
∵2012＞2，
∴tan12012＞12012，∴tan′(12012)＞12012，
∴sin212012cos212012＞12012，∴2012•sin′（12012）＞cos′(12012)，
∴2012•sin′(12012)＞1-sin′(12012)，
∴2013sin′(12012)＞1，
∵sin′(12012)＞12013，
∵12012∈(0，π2)，
∴sin12012＞sin12013．

解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=13x3+2ax2+a.....”主要考查你对 [集合间的基本关系 ]考点的理解。集合间的基本关系

集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种：

1、子集概念：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作A

B（或说A包含于B），
也可记为B

A（B包含A），此时说A是B的子集；A不是B的子集，记作A

B，读作A不包含于B
2、集合相等：
对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B
3、真子集：
对于集合A与B，如果A

B并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A

B（B

A），读作A真包含于B（B真包含A）