已知函数f=ax2+bx满足条件f=f，且函数g=f﹣x只有一个零点． 求函数

题文

已知函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（1﹣x）=f（1+x），且函数g（x）=f（x）﹣x只有一个零点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求实数m，n（m＜n），使得f（x）的定义域为[m，n]时，f（x）的取值范围是[3m，3n]． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）因为二次函数f（x）=ax2+bx满足条件f（1﹣x）=f（1+x），
所以函数f（x）图象的对称轴是直线x=1．
所以﹣

=1，即b=﹣2a．
因为函数g（x）=f（x）﹣x只有一个零点，即ax²﹣（2a+1）x=0有等根．
所以△=（2a+1）²=0．
即a=﹣

，b=1．
所以f （x）=﹣

x²+x．     
（Ⅱ）①当m＜n＜1时，f （x）在[m，n]上单调递增，f （m）=3m，f （n）=3n，
所以m，n是﹣

x²+x=3x的两根．
解得m=﹣4，n=0；                   
②当m≤1≤n时，3n=

，解得n=

．不符合题意；  
③当1＜m＜n时，f （x）在[m，n]上单调递减，
所以f （m）=3n，f （n）=3m．
即﹣

m²+m=3n，﹣

n²+n=3m．
相减得﹣

（m²﹣n²）+（m﹣n）=3（n﹣m）．
因为m≠n，所以﹣

（m+n）+1=﹣3．
所以m+n=8．将n=8﹣m代入﹣

m²+m=3n，得﹣

m²+m=3（8﹣m）．
但此方程无解．
所以m=﹣4，n=0时，f （x）的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax2+b.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。