已知定义在R上的奇函数f=x3+bx2+cx+d在x=±1处取得极值．求函数f的解析式；试证：对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x

题文

已知定义在R上的奇函数f（x）=x³+bx²+cx+d在x=±1处取得极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）试证：对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4成立；
（Ⅲ）若过点P（m，n），（m、n∈R，且|m|＜2）可作曲线y=f（x）的三条切线，试求点P对应平面区域的面积． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由题意f（0）=0，
∴d=0，
∴f′（x）=3x²+2bx+c，又f′（1）=f′（-1）=0，
即3+2b+c=03-2b+c=0，
解得b=0，c=-3．
∴f（x）=x³-3x；
（II）∵f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
故f（x）在区间[-1，1]上为减函数，
∴f_max（x）=f（-1）=2，f_min（x）=f（1）=-2
对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（-1）-f（1）=4；
（III）设切点为M（x₀，y₀），
则点M的坐标满足y₀=x₀³-3x₀．
因f′（x₀）=3（x₀²-1），
故切线l的方程为：y-y₀=3（x₀²-1）（x-x₀），
∵P（m，n）∈l，∴n-（x₀³-3x₀）=3（x₀²-1）（m-x₀）
整理得2x₀³-3mx₀²+3m+n=0．
∵若过点P（m，n）可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴关于x₀方程2x₀³-3mx₀²+3m+n=0有三个实根．
设g（x₀）=2x₀³-3mx₀²+3m+n，
则g′（x₀）=6x₀²-6mx₀=6x₀（x₀-m），
由g′（x₀）=0，得x₀=0或x₀=m．
由对称性，先考虑m＞0
∵g（x₀）在（-∞，0），（m，+∞）上单调递增，
在（0，m）上单调递减．
∴函数g（x₀）=2x₀³-3mx₀²+3m+n的极值点为x₀=0，或x₀=m
∴关于x₀方程2x₀³-3mx₀²+3m+n=0有三个实根的充要条件是g(0)＞0g(m)＜0，
解得-3m＜n＜m³-3m．
故0＜m＜2时，点P对应平面区域的面积
S=∫20(m3-3m)-(-3m)dm=∫20m3dm=14m4|20=4
故|m|＜2时，所求点P对应平面区域的面积为2S，即8．

解析

3+2b+c=03-2b+c=0

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的奇函数f（x）=x3+b.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。