题文
已知f（x）=x（x-a）（x-b），点A（s，f（s）），B（t，f（t））．（Ⅰ）若a=b=1，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的导函数f'（x）满足：当|x|≤1时，有|f'（x）|≤32恒成立，求函数f（x）的解析表达式；
（Ⅲ）若0＜a＜b，函数f（x）在x=s和x=t处取得极值，且a+b=23，证明：OA与OB不可能垂直． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）由题意可得：f（x）=x3-2x2+x，、所以f'（x）=3x2-4x+1，
令f'（x）≥0得3x2-4x+1≥0，解得x≤13或x≥1
故f（x）的增区间(-∞，13]和[1，+∞）（4分）
（Ⅱ）由题意可得：f'（x）=3x2-2（a+b）x+ab，
并且当x∈[-1，1]时，恒有|f'（x）|≤32．（5分）
故有-32≤f'（1）≤32，-32≤f'（-1）≤32，及-32≤f'（0）≤32，（6分）
即-32≤3-2(a+b)+ab≤32…①-32≤3+2(a+b)+ab≤32…②-32≤ab≤32…③…（8分）
①+②，得-92≤ab≤-32，…（8分）
又由③，得ab=-32，将上式代回①和②，得a+b=0，
故f(x)=x3-32x．（10分）
（Ⅲ）假设OA⊥OB，即OA•OB=（s，f（s））•（t，f（t））=st+f（s）f（t）=0（11分）
所以有：（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1[st-（s+t）a+a2][st-（s+t）b+b2]=-1，…（11分）
由s，t为f'（x）=0的两根可得，s+t=23（a+b），st=13，（0＜a＜b）
从而有ab（a-b）2=9．…（12分）
这样(a+b)2=(a-b)2+4ab=9ab+4ab≥236=12
即 a+b≥23，这与a+b＜23矛盾．…（14分）
故OA与OB不可能垂直．…（16分）
解析
13考点
据考高分专家说，试题“已知f（x）=x（x-a）（x-b），点.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得
，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
