已知定义域为R的奇函数f，当x＞0时，f=lnx．求函数f的解析式；若函数h=f+ax在[1，e]上的最小值为3，求a

题文

已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=lnx．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数h（x）=f（x）+ax在[1，e]上的最小值为3，求a的值；
（3）若存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＞x₀²+ax0，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0--------------------（1分）
当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-ln（-x）
综上所述，函数f（x）的解析式是f（x）=lnx     (x＞0)0        (x=0)-ln(-x)        (x＜0)--------------（3分）
（2）由题意得h（x）=lnx+ax，∴h′（x）=1x-ax2=x-ax2
由h′（x）=0得x=a
①当a≤1时，f（x）在[1，e]上单调递增
∴h（x）_min=h（1）=a
∴a=3，但不符合a≤1，舍去---------------------（6分）
②当1＜a＜e时，f（x）在[1，a]上单调递减，在[a，e]上单调递增
∴h（x）_min=h（a）=a
∴a=3，但不符合1＜a＜e，舍去---------------------（8分）
③当a≥e时，f（x）在[1，e]上单调递减
∴h（x）_min=h（e）=1+ae，可得1+ae=3，解之得a=2e，符合题意
综上所述：当a=2e时，h（x）=f（x）+ax在[1，e]上的最小值为3-----------（10分）
（3）由题意：f（x）＞x²+ax在[1，+∞）上有解
即a＜xlnx-x³在[1，+∞）上有解--------------------（12分）
设g（x）=xlnx-x³，其中x∈[1，+∞），可得g′（x）=lnx+1-3x²
设φ（x）=lnx+1-3x² （x∈[1，+∞）），则φ′（x）=1x-6x
当x∈[1，+∞）时φ′（x）＜0恒成立，可得φ（x）在[1，+∞）上单调递减
∴φ（x）≤φ（1）=-2，得φ（x）在[1，+∞）上恒为负数---------------------（14分）
∴当x∈[1，+∞）时g′（x）＜0恒成立，得g（x）在[1，+∞）上单调递减
因此，g（x）_max=g（1）=-1
由此可得，实数a的取值范围为（-∞，-1）．---------------------（16分）

解析

lnx     (x＞0)0        (x=0)-ln(-x)        (x＜0)

考点

据考高分专家说，试题“已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。