已知函数f=Asin，x∈R的最大值是2，其图象经过点M．求f的解析式；若tanα=3，且函

题文

已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是2，其图象经过点M（π3，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若tanα=3，且函数g（x）=f（x+α）+f（x+α-π2）（x∈R）的图象关于直线x=x₀对称，求tanx₀的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函f（x）的最大值是2，
∴A=2，又函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的图象经过点M（π3，1），
∴2sin（π3+φ）=1，
即sin（π3+φ）=12，
∵0＜φ＜π，
∴φ=π2，
∴f（x）=2sin（x+π2）=2cosx…（5分）
（2）g（x）=f（x+α）+f（x+α-π2）
=2cos（x+α）+2cos（x+α-π2）
=2cos（x+α）+2sin（x+α）
=22sin（x+α+π4），
∵其图象关于直x=x₀对称，
∴sin（x₀+α+π4）=±1，
∴x₀+α+π4=kπ+π2（k∈Z），即 x₀=kπ-α+π4，（k∈Z），
又∵tanα=3，
∴tanx₀=tan（kπ-α+π4）=tan（π4-α）=1-tanα1+tanα=-12…（14分）

解析

π3

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。